어떤 두 자산 A와 B가 있습니다. 한정된 기간이지만 지금까지 얻었던 수익률의 분포도 알고 있습니다. 투자자는 어떤 자산에 투자하면 좋을지 어떻게 선택할 수 있을까요? 알고 있는 수익률 분포가 미래에도 어떤 규칙(예를 들어 무작위)으로 재현된다는 가정하에 살펴봅니다. 이러한 가정은 현실의 자산과 맞지 않는 부분이 있지만, 자산을 비교하여 선택하는 과정의 본질을 이해하는 첫걸음이 됩니다. 주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다. 투자에서 우위와 불확실성 지난 몇 편의 글을 통해 살펴본 우위 관계에 정리하면서 논리를 전개해 봅니다. 이전 글을 먼저 읽으면 이 글을 이해하기 쉽습니다. - [중급 15] 더 좋다는 것은 무슨 의미일까? (확률적 우위, 제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈의 대결) - [중급 16] 조건에 따라 수익률 분포는 어떻게 바뀔까? (제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈의 우승 확률에 따른 수익률 분포의 변화) - [중급 17] 분산 투자에 의해 수익률 분포는 어떻게 바뀔까? (제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈의 우승 확률과 갑돌이의 해외여행) 앞에서 예로 든 제일은행과 삼삼은행의 예금을 다시 생각해 봅니다. 제일은행의 1년 예금 금리는 3.5%이고, 삼삼은행의 1년 예금 금리는 3.3%입니다. 수익률 분포로는 각각 [3.5% × 100%]와 [3.3% × 100%]로 표현할 수 있습니다. 이 수익률 분포가 고정이라면, 다음과 같은 그래프를 나타낼 수 있었습니다. 참고: [중급 15] 더 좋다는 것은 무슨 의미일까? (확률적 우위, 제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈의 대결) 두 예금의 수익률 차이는 항상 0.2%로 제일은행의 예금 수익률이 더 높습니다. 따라서 투자자가 1회를 투자하든, 5회를 투자하든, 단리로 무한히 반복 투자하든, 복리로 무한 반복 투자하든 제일은행의 예금이 항상 더 나은 상품입니다. 다음의 절대적 우위 관계가 성립합니다. 제일은행 예금 > 삼삼은행 예금 제일은행과 삼삼은행의 야구팀 제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈가 결승전에서 맞붙었습니다. 각 은행은 자사의 야구팀이 우승하면 1% 추가 금리를 지급한다고 하겠습니다. 제일은행 예금은 3.5% 또는 3.5% + 1% = 4.5% 예금이 되고, 삼삼은행 예금은 3.3% 또는 4.3% 예금이 됩니다. 각 예금의 수익률은 이제 고정된 하나의 값이 아닌 수익률 분포로 표현해야 합니다. 각각의 예금이 상대적으로 우위인 상황이 발생하기에 절대적 우위가 사라지게 됩니다. 확률적 우위로 바뀌게 됩니다. 절대적 우위는 100% 확률로 특정 자산이 다른 자산에 비해 우위인 경우이고, 확률적 우위는 100%가 아닌 경우로 설명하지만, 모든 우위는 확률적 우위입니다. 경우에 따라서 그 확률이 50% 또는 100% 일뿐입니다. 어디서 얻은 정보인지는 모르겠지만, 어떤 투자자가 어느 팀이 우승할지 알고 있다고 하겠습니다. 야옹이즈가 우승한다는 것을 알고 있다면 제일은행 예금에, 뱀뱀즈가 우승한다는 것을 알고 있다면 삼삼은행 예금에 가입하는 것이 합리적입니다. 이 투자자는 본인이 가진 정보를 이용하여 확률적 우위를 절대적 우위로 바꿀 수 있습니다. 투자에서 정보는 우위의 변화(= 수익률 분포의 변화)를 가져오고, 경우에 따라서는 이처럼 절대적 우위가 될 수도 있습니다. 정보의 가치는 이러한 우위의 변화가 가져오는 이득이라 정의할 수 있습니다. 참고: [중급 22] 투자 정보의 가치는 얼마일까? (누군가 내일의 주가 수익률을 알려준다면 초모험씨는 얼마까지 지불할 수 있을까?) 만일 어느 팀이 우승할지는 모르지만, 확률 분포는 알고 있다면 어떻게 될까요? 투자 결정에 어떤 영향을 미칠까요? 다음 두 그래프는 야옹이즈의 우승 확률이 50% 또는 80%일 때, 각 예금의 수익률 분포와 수익률 차이의 분포입니다. 왼쪽은 야옹이즈의 우승 확률이 50%인 경우입니다. 각 예금의 수익률 분포는 [3.5% × 50%, 4.5% × 50%]와 [3.3% × 50%, 4.3% × 50%]가 되고, 수익률 차이의 분포는 [-0.8% × 50%, 1.2% × 50%]가 됩니다. 기대 수익률을 극대화하고자 하는 투자자라면, 야옹이즈 우승 확률이 50%인 경우 제일은행 예금에 드는 것이 유리합니다. 제일은행 예금의 기대 수익률은 4.0%이고, 삼삼은행 예금의 기대 수익률은 3.8%이기 때문입니다. 오른쪽 그림처럼 야옹이즈의 우승 확률이 20%에 불과하다면, 각 예금의 수익률 분포는 [3.5% × 80%, 4.5% × 20%]와 [3.3% × 20%, 4.3% × 80%]가 되고, 수익률 차이의 분포는 [-0.8% × 80%, 1.2% × 20%]가 됩니다. 제일은행 예금의 기대 수익률은 3.7%, 삼삼은행 예금의 기대 수익률은 4.1%입니다. 수익률 차이의 기대값은 -0.4%이니 제일은행 예금보다 삼삼은행 예금에 가입하는 것이 유리합니다. 투자자는 야옹이즈의 우승 확률에 따라 기대 수익률을 극대화할 수 있는 제일은행 또는 삼삼은행 예금을 선택해서 가입하는 것이 합리적입니다. 위험이 고려되면 우위가 어떻게 바뀔까? 투자자가 단 1회 투자를 하고, 자녀 대학 등록금에 반드시 사용해야 하는 자금이라면 어떻까요? 1,000만원을 투자했고, 필요한 자녀의 등록금이 1,038만원이라고 가정해 보겠습니다. 참고: 논리 전개를 위한 가상의 사례일 뿐입니다. 현실에서는 절약이나 학자금 대출 등 유연하게 대처할 수 있는 여러 방법이 있을 수 있습니다. 이해하기 애매하면, 투자가가 사업체를 운영하고 있고, 다음 달에 반드시 전액 갚지 않으면 신용이 크게 낮아져서 사업을 지속하기 어려워지는 외상금이라 보아도 됩니다. 야옹이즈의 우승 확률이 50%라면, 제일은행 예금에 가입하면 반반의 확률로 1,035만원 또는 1,045만원이 됩니다. 삼삼은행 예금에 가입하면 마찬가지로 반반의 확률로 1,033만원 또는 1,043만원이 됩니다. 어느 경우에나 반반의 확률로 투자 목표를 달성할 수 없습니다. 야옹이즈의 우승 확률이 20%라면, 제일은행 예금으로는 투자 목표 달성 가능성이 20%이고, 삼삼은행 예금으로는 80%입니다. 어느 야구팀이 우승하느냐에 따라 투자 성공 여부가 결정됩니다. 그나마 삼삼은행 예금에 가입하면 성공 가능성이 80%가 되니 앞의 경우보다는 나은 상황입니다. 만일 투자자가 야옹이즈 우승 확률이 50%일 때, 제일은행과 삼삼은행에 반반씩 예금하면 어떻게 될까요? 야옹이즈가 우승하면 1,045만원 / 2 + 1,033만원 / 2 = 1,039만원이 되고, 뱀뱀즈가 우승해도 1,035만원 / 2 + 1,043만원 / 2 = 1,039만원이 됩니다. 반반의 비중으로 분산 투자를 하면 100% 확률로 투자 목표를 달성할 수 있습니다. 야옹이즈 우승 확률이 20%라도 마찬가지입니다. 반반씩 분산 투자하면 어느 경우에나 1,039만원을 얻을 수 있습니다. 투자에서 분산 투자가 중요한 이유는 이처럼 동일한 투자 목표를 보다 낮은 위험으로 달성할 가능성이 있기 때문입니다. 참고: 제일은행과 삼삼은행의 예금은 강한 음의 상관성을 가지면서 투자 수익률이 비슷한 두 자산입니다. 기하학적으로 해석해 보자 이를 그래프로 그려 해석하면 다음과 같습니다. 참고: 문제에 따라서는 문제의 핵심을 그림으로 나타내면 그 본질을 이해하기 한결 수월해집니다. x축은 포트폴리오 내 제일은행 예금의 비중입니다. 1에서 x값을 뺀 나머지는 삼삼은행 예금 비중이 됩니다. 발생할 수 있는 사건은 야옹이즈 우승과 뱀뱀즈 우승입니다. 각각에 대해 살펴봅니다. 파란색 선은 야옹이즈가 우승하는 경우입니다. 제일은행 예금 비중이 0%라면 (= 삼삼은행 예금에만 가입했다면), 야옹이즈가 우승하면 1,033만원이 됩니다. 제일은행 예금 비중이 100%라면 1,045만원이 될 것입니다. 제일은행과 삼삼은행 예금에 분산 투자했다면, 이 두 점을 잇는 직선으로 포트폴리오가 나타납니다. 오렌지색 선은 뱀뱀즈가 우승하는 경우입니다. 제일은행 예금 비중이 0%라면 (= 삼삼은행 예금에만 가입했다면), 뱀뱀즈가 우승하면 1,043만원이 됩니다. 제일은행 예금 비중이 100%라면, 1,035만원이 될 것입니다. 마찬가지로 두 점을 잇는 직선으로 분산 투자 포트폴리오가 그려집니다. 투자자는 어떤 비중으로 분산 투자를 하든 해당 제일은행 예금 비중 x값에서 세로 직선을 그어 만나는 파란색과 오렌지색 직선상의 점 두 점 중에 하나의 결과를 얻게 됩니다. 각 점(사건)이 발생할 확률은 야옹이즈 우승 확률과 동일한 50%입니다. 투자 목표인 1,038만원으로 빨간색 수평 점선이 그어져 있습니다. 투자자는 어떤 경우에나 1,038만원 이상이 되는 투자를 원할 것입니다. 그래프를 보면 그 해가 나와있습니다. 파란색 선과 오렌지색 선이 모두 빨간색 점선 위에 있는 제일은행 예금 비중 [41.7%, 62.5%] 구간입니다. 투자자는 무엇을 선택해야 할까? 투자 목표의 주관성 해당 구간에 속하는 포트폴리오는 어느 팀이 우승하든 모두 1,038만원 이상이 됩니다. 그렇다면 투자자는 이 중에서 무엇을 선택하면 될까요? 변동성을 최소화하려면 제일은행 예금에 50% 비중으로 투자하면 항상 1,039만원을 얻을 수 있습니다. 좋은 선택의 하나입니다. 기대 수익을 최대화하는 것이 목표이라면 기대치를 그래프에 함께 그려 살펴볼 수 있습니다. 1,038만원 이상이 보장되는 보라색 영역의 제일은행 예금 비중 구간을 보면, 초록색 선으로 표시된 기대값은 제일은행 예금 비중이 높아질수록 증가합니다. 따라서 62.5% 비중으로 제일은행 예금에 투자하는 것이 가장 높은 수익을 기대할 수 있습니다. 야옹이즈 우승 확률이 20%라면 어떻게 될까요? 야옹이즈 우승 확률이 50%인 경우와 동일한 포트폴리오 선 두 개와 투자 목표가 그려져 있습니다. 뱀뱀즈의 우승 확률은 80%로 야옹이즈 우승 확률 20%보다 높기에, 오렌지색 선은 굵은 선으로 표시했습니다. 초록색의 기대값은 앞서와 반대로 음의 기울기를 가진 직선으로 표현됩니다. 투자자가 변동성을 최소화하려면 이전과 동일하게 50% 비중으로 제일은행 예금에 가입하는 것이 합리적이지만, 기대값을 최대화하려면 제일은행 예금 비중을 41.7%로 낮추어야 합니다. 투자 결정과 최적화 이 분석에서 투자자의 투자 목표를 두 단계로 기술하였습니다. 첫 번째는 투자 후 잔고가 반드시 1,038만원 이상이 되어야 한다는 하드 제약 조건(hard constraint)입니다. 나머지 하나는 가능한 낮은 변동성 또는 가능한 높은 기대값을 가져야 한다는 소프트 제약 조건(soft constraint)입니다. 수학적으로 표현한 제약 조건을 모두 만족시키는 해를 찾는 과정을 수학 또는 전산학에서 최적화(optimization)라 합니다. 다르게 말하면, 투자 결정 문제를 수학적으로 모델링하면 최적화 문제가 되는 것입니다. 정리하며 개별 자산의 수익률 분포를 알고 있다는 가정하에서 투자할 자산 또는 분산 투자할 비중을 선택하는 투자 결정이란 무엇인지 살펴보았습니다. 수학적으로 해석하면 주어진 제약 조건을 만족하는 해를 찾는 최적화입니다. 문제의 구성 요소를 그래프로 그리고, 투자 목표를 만족하는 결과를 그래프에 나타낼 수 있다는 것은 수학적으로 표현이 가능하다는 의미입니다. 야옹이즈 우승 시 자산, 뱀뱀즈 우승 시 자산, 야옹이즈 우승 확률을 고려한 기대값은 모두 수식으로 모델링이 가능했기에 위의 그래프를 그릴 수 있었습니다. 참고: 고차원 그래프(high demensional graph)는 사람이 인지하기 쉬운 형태로 표현할 수 없습니다. 수학적으로 모델링을 할 수 있다는 것은 문제를 푸는 방법 즉 해를 구하는 방법을 고안해 낼 수 있다는 뜻입니다. 물론 여기에는 전제가 붙습니다. 현실의 자산 수익률을 충분히 정확하게 모델링할 수 있고, 투자자의 투자 목표도 합리적인 수준으로 반영한 제약 조건으로 표현할 수 있어야 합니다. 이 두 가지는 투자 문제에 따라서는 실현하기 어려운 난제일 수 있습니다. 앞으로 10년간의 특정 자산의 수익률 분포가 과거 50년과 충분히 유사할 거라 확신하지 못할 수 있으며, 투자자의 투자 목표를 세세하게 수학적으로 표현하기 어려울 수 있기 때문입니다. 하지만 적어도 제한된 조건하에서 납득할 수 있는 수준으로 유용한 결과를 얻어내는 데는 활용이 가능할 수 있습니다. 참고 도서: - 왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까 - 장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각 - 파이썬으로 그려보는 투자 포트폴리오 분석 - 정량적 투자 분석을 위한 입문서 이어지는 글: [중급 26] 불확실하다는 것은 무슨 뜻일까? (포트폴리오의 변동성) 투자에서 정보에 대한 통계학적 시각 1 목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편, 중급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다. 함께 읽으면 좋은 글: - 커버드콜과 노벨상 (커버드콜에 투자하면 안 되는 간단하고 명확한 이유 + 노벨상을 받는 손쉬운 방법) - 국내 자산을 기초자산으로 하는 커버드콜 ETF의 성과 비교 사례와 해석 출처: [중급 25] 투자할 자산의 선택과 최적화 (수익률 분포를 완벽하게 알더라도 발생하는 불확실성과 주관성) [오렌지사과의 사진과 투자:티스토리]
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